GPS Gleichungssystem Lösung

Allgemeine Fragen zu GPS und verwandten Themen

Moderator: Roland

GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 17.01.2010 - 11:54

Hallo,
ich arbeite zur Zeit an meiner GPS Facharbeit (Mathematik). Da am 29.1 Abgabe ist befinde ich mich in den letzten Zügen der Arbeit konnte aber eine Frage noch nicht klären. Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen, denn die Fachliteratur beantwortet diese Frage nicht oder nicht hinreichend:

Warum wird die Geschlossene Lösungsform zur Lösung des Gleichungssystems nicht mehr angewendet, sonder Taylor-Iteration oder Kalman Filter?

Ich habe bereits gelesen, dass es wegen des " unbefriedigenden Ergebnisses" kaum noch angewendet wird. Kann mir einer das Problem erklären? Hier ist noch mal das Gleichungssystem:

Bild

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe :D
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Roland » 17.01.2010 - 14:52

Hallo Stucki,

ich melde mich eigentlich nur, weil ich nicht nur Spammer aus dem Forum drücken will ...

Kalman-Filter werden eingesetzt, um aus einem Datenstrom Vorheragen treffen zu können. Das kann bei GPS auf verschiedenen Ebenen geschehen.

1. Die GPS-Signale können im Chip schon geglättet werden.
2. Die Positionslösungen können geglättet werden
3. Die Lösungen eines bewegten Empfängers können vorhergesagt und interpoliert werden
4. Die GPS-Positionen eines bewegten Empfängers können mit anderen Messungen (Tachometer, Inertialsystemen, festem Empfänger) zu einer Lösung kombiniert werden.

Der erste Fall wird bei den Herstellern zum internen Know-How gehören.

Im zweiten Fall kann man die Positionslösung z..B umschreiben wie
DR-Schmitz Uni Hannover
auf S. 46. Schau nur auf S. 46 ! ich fand nichts anderes.
Die Fehler können mit Kalman-Filtern geschätzt werden.

Im dritten Fall
hat Garmin in einigen Empfängern die Möglichkeit, bisherige Positionen zu speichern und mit Kalman-Filter auf zukünftige Positionen zu schließen

Genaueres von anderen Forum-Mitgliedern.
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 17.01.2010 - 15:08

Hallo nochmal,
so wie ich Roland verstanden habe ist Kalman-Filter einfach schneller, weil er zusätzliche Informationen (z.B vorheriger Standort; Geschwindigkeit) nutzt und schon früher Positionsvorhersagen trifft

Aber wie sieht es mit Taylor Iteration aus? Ist es nicht schlauer das Gleichungssystem einmal nach x,y und z Koordinate aufzulößen und dann die gemessenen Werte einzusetzten, als mit einer Iteration die Koordinaten zu berechnen?

danke für die schnelle Antwort
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon ssquare_de » 17.01.2010 - 16:58

Hallo Stucki,


dein 4-teiliges Gleichungssystem ist ja nicht überbestimmt, nur weil nur nach 3 Koordinatenkomponenten gesucht wird.
Die 4te Gleichung wird ja für die genaue Empfängerzeithaltung benötigt.
Wenn du mehr als 4 Sats kontinuierlich empfangen kannst, dann ist das Gleichungssystem überbestimmt.
Hast du guten Empfang von gleichzeitig z.B. 8 Sats, kannst du die 4 zusätzlichen Gleichungen benutzen, die Positionsschätzung qualitativ zu verbessern.
Diese Auswertung des überbestimmten Gleichungssystem in Echtzeit wurde bei den jüngeren Empfängergenerationen durch den massiven Fortschritt stromsparender Rechenkraft möglich.
Bei den ersten Empfängergenerationen wurden nur die besten 4 Sats zur Positionsbestimmung eingesetzt.
Die beste gewählte Konstellation der 4 Sats war die, die die geringsten ( besten) DOP-Werte mit sich brachten.



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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 17.01.2010 - 18:11

hallo nochmal,
Ich glaube ihr versteht meine Frage nicht^^
Warum iteriert man denn um die Koordinaten zu bestimmen?
Könnte man nicht die vier Gleichungen umformen um
x=.....
y=.....
z=.....
zu erhalten, so dass man nur noch die gemessenen Größen einsetzten muss? Man hat doch vier Variablen und vier Gleichungen! Also anstatt einfach einzusetzten Iteriert man nach Taylor??? Warum?
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon ssquare_de » 17.01.2010 - 18:50

Hallo Stucki,


les dich da mal durch:
http://www.zogg-jm.ch/Dateien/Update_Zo ... on_Z4x.pdf
Besonders auch ab Seite 75 (Punkt 6)


Stefan
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Roland » 17.01.2010 - 19:01

Hallo,

.... zuspät gekommen.
Ich wollte auch klären, ob wir irgendwie aneinander vorbeireden.

Ob mit "Taylor-Iteration" gemeint ist, dass die nach Taylor entwickelten Gleichungen mehrfach durchgerechnet werden müssen, da die linearisierten Koeffizienten halt nur die ersten Glieder einer Näherung sind, die ersten Ergebnisse halt nochmals als Ausgangswerte in die Gleichung eingesetzt werden, bis die Ergebnisse sich kaum noch ändern,
s. o.g. Link.

Aber wieso sollten sie "kaum noch angewendet" werden ?


Grüße Roland
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 17.01.2010 - 21:15

hallo nochmal,
so wie ich das sehe reden wir immernoch aneinander vorbei. Ich habe mich mit dem Thema umfangreich außeinandergesetzt und weiß wie die Iteration funktioniert und das Gleichungssystem lößt.

Warum wird bei GPS jedoch nicht eine geschlossene Lößungsform (z.B Additionsverfahren) angewendet um nach den Variablen aufzulößen?
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Roland » 18.01.2010 - 00:07

Hallo,

wie die Hersteller von GPS-Empfängern oder -Chips die Positionen errechnen, weiß ich nicht.
Wenn ich die Gleichungen, vielleicht einmal im Jahr, mit dem Gaußschen Algorithmus auflöse, ist das doch das Additionsverfahren. Zwischen dem Additionsverfahren und dem von Dir ebenfalls erwähnten Kalman-Verfahren besteht m.E. ein gewisser Klassenunterschied.
Es gibt tatsächlich einen "Kalman Update Algorithmus"
http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=ADA471521&Location=U2&doc=GetTRDoc.pdf
(s. Inhaltsverzeichnis)

Es gab noch einen Lösungsweg, der mich an das "Determinantenverfahren" erinnerte, mit Hilfsgrößen, und der eine geschlossene Lösung darstellte. Aber wo ? Und wie hieß der ?


Grüße Roland
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon ssquare_de » 18.01.2010 - 10:33

Hallo Stucki,



ich meine, ich ahne nun, was dich beschäftigt:
..." Man hat doch vier Variablen und vier Gleichungen! "...

Wenn du den Empfänger einschaltest, hast du die 3 unbekannten Koordinatenanteile, die GPS-Systemzeit u. die Receiverzeit die unbekannt sind.
Die Receiverzeit gilt schon nach kurzem Ausschalten des Empfängers als unbekannt, legt man den extrem hohen Massstab der Genauigkeit der GPS-Systemzeit an.
Man kann dem Empfänger den Weg bis zur ersten ausreichend genauen "Positionsbestimmung(=GPS-Systemzeitbestimmung=Empfängerzeitsynchronisierung)" erleichtern, indem man ihm möglichst genaue Startwerte (Position, Zeit) vorgibt.
Dabei verbessert man die Startwerte für die Iteration u. verkürzt somit die Zeitspanne bis zum ersten Fix.
Bis zum ersten Fix muss man sich mit Iterationen behelfen, was man auch recht schön beim "Einschwingen" der ersten Positionsberechnungen beobachten kann.


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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 18.01.2010 - 16:05

ah danke wir kommen voran :D

Roland hat mich glaub ich verstanden. Ich frage mich wie man das Gleichungssystem noch lösen kann wie das von ihm genannte Determinantenverfahren. Im Internet und in Büchern findet man fast nur das Taylor-Iterationsverfahren.
Guckt euch mal das hier an
http://ralph.bucher.home.att.net/project.pdf
Warum rechnet der Empfänger nicht das aus, sondern iteriert nach Taylor?

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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Roland » 19.01.2010 - 00:57

Hallo Stucki,


um die Uhrzeit kann ich nicht mehr frisch drauflos argumentieren.

Irgendwie liegt ein Missverständnis darin, ob keiner eine bessere Lösung als die Taylorentwicklung -Gaußscher Algorithmus - Iteration hat.

Ich nehme diesen Weg. Aus Bequemlichkeit, Vermesser lösen viele Aufgaben so.
Sie lässt sich auch auf 6, 8, 10 Satelliten anwenden und führt dann zur Ausgleichungsrechnung.

Die von Dir gefundene Quelle zeigt eine andere Lösungen. Mein Link oben weitere.
So wird es bei den Herstellern weitere Lösungen geben, mit Vorteilen in Speicherplatzbedarf oder Rechenschritten.
Die Lösungswege werden m.E. aber unanschaulicher. Hier ein abschreckendes Beispiel
http://cobweb.ecn.purdue.edu/~jshan/publications/2002/GPS_Solutions_2002_P4P.pdf
Hat sicher bestimmte Vorteile, erfordert aber ein erhebliches Umdenken - bei mir, bei Grafarend eher nicht ...

Ich will ja nur grob verstehen, wie's läuft.
Das schau ich mir nochmal an
Norrdine AVN

Grüße Roland
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Stucki » 19.01.2010 - 18:34

hallo
es sind also keine ausschlag gebenden Gründe die zur Lößung per Iteration geführt haben und andere Lößungen wären durchaus möglich? hab ich das richtig verstanden?

Roland du benutzt Gauß-Krüger verfahren und Taylor Iteration was ist da der Unterschied?

Gruß Stucki
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Roland » 19.01.2010 - 21:08

Hallo Stucki,

ja, das alte Problem: wer sagt was zu wem ...

Die Taylor-Reihe/ -Formel/ -Entwicklung dient dem Linearisieren einer Funktion (PR = Wurzel...)
http://www.mathematik-online.de/F119.htm
und Auftellen eines linearen Gleichungssystems für die vier Unbekannten.

Den Gaußschen Algorithmus oder das
http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fs ... sverfahren
dient dem Auflösen des Gleichungssystems.

"Taylor-Iteration" könnte die wiederholte Bestimmung des nach Taylor linearisierten Systems sein.
Mir war der Begriff nicht geläufig, das heißt aber nichts.


Grüße Roland
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Re: GPS Gleichungssystem Lösung

Beitragvon Schiller » 20.01.2010 - 13:23

Hey,

meines Wissens sind die Algos von Kleusberg und Bancroft auch teilweise in Receivern
integriert, um die Lösung des Gleichungssystems zu erreichen.

Hier ein Link zum Einstieg:

http://www.mevis-research.de/~richard/mnu05-slides.pdf

cya

Alex
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